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第三章 趋势外推预测方法 3.1 线性趋势外推预测方法 3.2 曲线趋势外推预测方法思路与实践 3.1 直线趋势外推预测方法 3.1.1 线性趋势时间序列的特点：时间序列的变化趋势图形化 看，序列显示某种增长或衰退的趋势，而且这种趋势是长期趋势。虽然时间序列的项值是各种因素综合作用的结果，但序列的线性趋势表明，某些因素从长期来看起着决定性的作用。在做出外推预测之前，必须清楚地研究这种长期趋势。 线性趋势预测的基本思想是假设影响时间序列的项值的主要因素在过去、现在和未来大致相同。因此，只要延长趋势线，就可以预测未来的物品价值。一般来说，这种预测方法只适用于短期或稳定的经济发展时期的预测。常用的预测方法有拟合直线方程法和加权拟合直线方程法（也称折扣最小二乘法）。 3.1.2 拟合直线方程法 1．拟合直线方程法的原理： 拟合直线方程法的原理是最小二乘原理。就是根据时间序列数据拟合一条直线趋势线，使直线上预测值与实际观测值的偏差平方和最小。假设n个时间序列观测值(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，要找到的拟合直线为AB，使得n个观测值的偏差沿直线分别为e1,e2,…,en。其中，AB直线上方一侧的色散为正色散，其下方一侧为负色散。
如果单纯用偏差代数和来反映该直线是否是最佳拟合直线，则正负离差可能会相互抵消，使得偏差代数和更小甚至为零。这说明 并不能真正反映拟合直线的质量。因此，为了避免正负偏差相互抵消，应采用偏差平方和来反映拟合直线的拟合效果。最小二乘法利用数学微分极值原理，利用偏差平方和最小时的拟合直线作为最佳预测直线方程，从而提高预测的准确性。 2．拟合直线方程法的数学模型：设拟合直线方程为 式中， 为周期t的预测值； xt为自变量，表示周期t数的值； 是 y 轴上的趋势线 的截距是趋势线的斜率。 假设yt为时间序列(t=1,2,...,n)中t周期的实际观测值，为t周期趋势线的预测值，et为t周期的偏差t 期间的实际观测值及其预测值。 ，假设Q为总偏差的平方和，那么式中，yt和xt的值已经确定； Q的大小实际上取决于未定系数的值，也就是说，Q实际上是基于变量的二元函数。因此，为了使Q值最小，可单独求出的偏导数，并设为0。即同时求解方程(3.2)和(3.3)，得到方程。 这里自变量xt的取值为1到n。也就是说，自变量xt的值等于它的下标t。 ，如x1=1，xt=t。事实上，从线性趋势外推预测方法的原理来看，时间变量xt的值代表了时间变量的个数。
这种编号不一定要从1开始，而是可以从任意自然数开始依次编号，如x1=0、x1=-3。利用这种便利可以减少我们的工作量。这种方法称为正负对称编号法。即当时间序列的数据长度n为奇数时，中位数(n+1)/2的个数为0。则xt构成以0为中心的正负数对称序数，即是，令 ，使得 。比如n=7，那么xt的值为x1=-3,x2=-2,…,x4=0,…,x7=3。此时显然存在，从而达到简化计算的目的。采用正、负对称编号法时，方程（3.4）和（3.5）可简化为和3。 拟合直线方程法预测步骤： 例3.1 某家电厂1993年至2003年的利润数据为如表3.1所示。尝试预测当前时间变量的数字为 -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 和 0, 1, 2, 3, 4, 5 、 6、7点、8点、9点分别为企业2004年、2005年的利润。(3.6)(3.7)表3.1年度利润某家电厂1993年至2003年的资金（单位：万元）及拟合直线方程法计算表 解（1）绘制时间序列数据散点图如图3.1所示。观察各散点的变化趋势是否可以用直线方程拟合。 图3.1某家电厂年利润散点图（2）列出计算待定系数所需的数据。
(3.8)表3.1左侧(第3列)用取自变量xt的值，得到。在表3.1右侧（第7列），将自变量xt计算为0,1,2,…,10，得到。 (3)确定待定系数并建立预测模型。 根据表3.1左侧编号方法，直线方程为(3.9)根据表3.1右侧编号方法，直线方程为 (4) 利用拟合直线方程求出预测值。 根据式（3.9）预测： =604.5+82.7×6=1100.7（万元）=604.5＋82.7 ×7=1183.4（万元）(3.10) 根据式预测(3.10):=191＋82.7×11=110 0.7（万元）=191+82.7×12=1183.4（万元）可见，由于编号方式的不同，两个时间序列，两个直线方程(3.9)和(3.10)的截距不同，但斜率两个拟合直线方程得到的预测结果是完全一样的。要求读者在同一坐标系下绘制数据散点图和拟合曲线，观察异同。 4．拟合直线方程的方法特点：拟合直线方程的一阶差分是常数。直线方程为，其一阶差分为 线性趋势外推预测方法仅适用于呈现线性趋势的时间序列数据向上（或向下）变化的情况。 线性趋势外推预测方法对时间序列数据一视同仁，无论其距离如何。
采用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值落在拟合的直线上，从而消除了不规则的变化。 3.1.3 加权拟合直线方程法 1．加权拟合直线方程法原理：上述拟合直线方程法是估计线性趋势预测模型参数的常用方法。基本思想是最小化预测结果与实际数据之间的误差平方和。从结构上看，误差平方和是各年实际值yt与当年预测值偏差的平方和。这意味着公式中的每一项都具有相同的重要性，即无论误差是近期的还是长期的，都被赋予相同的权重。但事实上，短期误差对于预测准确性比长期误差更重要。例如，对于一种经济现象，预测期前期的增长趋势明显且稳定，但远期数量指标却出现了较大的跳跃。根据最小二乘法，虽然时间序列后期的误差平方不大，但由于前几期的跳跃较大，也会较大。这意味着，虽然原来的预测误差并不大，但即使是精度较高的预测值也不得不承认其存在较大的误差。这是不合理的。因此，在市场预测实践中，应按照时间顺序和重近轻远的原则对偏差平方和进行加权。然后，根据最小二乘原理，最小化偏差平方和并计算加权和。拟合直线方程。这种方法称为加权拟合直线方程法。假设由近到远的偏差平方和的权重分别为α0,α1,α2,…,αn-1，其中0≤α<1，α0=1，表示给最近的数据一个最大值权重为1，然后从近到远，与α成比例减小。
每个权重的衰减速度取决于α的值。 α值越大（越接近1），衰减速度越慢；反之，α值越小（越接近0），衰减速度越快。若α=1，则转化为上述拟合直线方程法。从这个意义上说，加权直线方程拟合方法是直线方程拟合方法的改进和发展。 2.加权拟合直线方程法的数学模型 设加权拟合直线方程为，加权偏差平方和为。为了最小化Q，使用求多元函数极值的方法，并分别计算方程(3.11)。求的偏导数，令其为0：(3.11)(3.12)(3.13) 同时求解上述两个方程，即可得到和的值。 3．加权拟合直线方程法的预测步骤：例3.2 数据同上例。当α=0.8时，采用加权拟合直线方程法预测2004年和2005年的利润。 解（1）按表3.2计算相关数据。根据式（3.12）和式（3.13）的要求，分别计算每年的nt、αn-t、αn-tyt、αn-txtyt、αn-txt、αn-tx2t，相加后代入上式中，对于，联合解=101.68，=83.66，故预测模型为=101.68+83.66xt(3.14)表3.2某家电企业1993-2003年利润（单位：万元）及加权拟合直线法计算表（2）预测值：当xt =12, =101.68+83.66×12=1105.6（万元）当xt=13时，=101.68+83.66×13=11.8926（万元）即该家电2004年的利润和2005年是分别为11056元和1189.26万元。
4.结论分析：对比例3.1和例3.2的预测结果可以发现，由于时间序列数据的线性趋势比较明显，而且由于加权拟合直线法的加权系数值比较大（α =0.8)，加权不一致 两种加权直线拟合方法的预测结果非常接近。但总体而言，由于加权拟合直线法遵循重近轻远的加权原则，其预测结果更接近实际观测值。而且，α值越小，对近期数据的权重就越大，因此近期的预测值更接近实际观测值。然而，选择更合适的α值也很困难。一般来说，需要经过多次试验才能使加权偏差平方和最小化。 3.1.4拟合直线方程法的特殊应用下面以最常用的模型为例进行分析。 对式两边取对数，若有，则利用前面学过的拟合直线方程方法，可得(3.15) 当采用正负对称编号时方法，上式可以简化为上面的求解方法称为对数趋势法（也称为指数趋势法）。它是指当时间序列观测值的长期趋势呈指数曲线变化时，利用观测值的对数和最小二乘原理得到预测模型的方法。对数趋势法适用于时间序列数据按指数曲线规则增减的情况。使用时应注意结果的恢复。 例3.3 某公司从1991年到2003年的产品销售情况如表3.3第二栏所示。尝试预测 2004 年的产品销量。
表3.3 A公司1991年至2003年销售额（单位：万元）及对数趋势法计算表。解 (1) 列出求解待定参数所需的数据。在这个例子中，n = 13，所以xt的值为x1=-6，x2=-5，…，x13=6。产品销售曲线如图3.2所示。根据拟合直线方程及其待定参数计算公式，计算出x2t、lnyt，列于表中，并将计算结果填入表3.3。 图3.2 某公司1991年至2003年的销售额 (2) 根据上述计算，得出结论： 因此，预测模型为预测值是查逆对数表，对替换的变量进行还原，则=12 980.76（万元），即2004年销售预测值为12980.76万元。 3.2曲线趋势外推预测方法 常见的曲线趋势外推预测方法有二次曲线法、三次曲线法和增长曲线法。 假设曲线趋势外推预测模型为式中，为某变量在t时段（因变量）的预测值； xt 为时间变量（自变量），t=1, 2, …, n。 (3.16)(1) 当时，为线性趋势外推预测法模型； (2) 当时，为二次曲线外推预测法模型。 3.2.1 二次曲线趋势外推预测方法 1．使用最小二乘法确定待定参数 |
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发表于 2024-12-16 16:53:12
