|
|
关于第4点：因为=π/4，所以原公式=4。一文了解三角函数和反三角函数的故事~
01
三角学
三角形是几何学中最简单的封闭图形，也是几何学的入门知识。三角形的边和角之间的关系是我们研究的重点。例如，有关于边的三边关系定理（三角形的任意两条边之和大于第三条边），还有关于角的定理。内角和定理（三角形内角和为180°）等等。
了解了边和角的关系后，我们不禁又问一个问题：边和角之间呢？有什么联系吗？
答案是显而易见的。早在公元前600年，古希腊“科学鼻祖”泰勒斯就发现，在直角三角形中，同一锐角的对边与斜边之比相等。泰勒斯说，应用这一原理，只需一根棍子就可以测量金字塔的高度。
因此，由于生产和生活的需要，很早就有一门专门研究平面三角形和球面三角形的边和角关系的学科——三角学。最早的目的是为了测量，后来在天文学和航海方面发挥了巨大的作用。影响。为什么它与天文学和航海有关？也许欧洲人也喜欢晚上观星之类的事情。至于导航，没有导航就没有新世界。
“三角学”一词最初来自拉丁语“三角学”。德国牧师佩蒂斯库斯 () 在其 1595 年出版的《三角学：三角形解的简要处理》中首次使用了英文单词“三角学”()。希腊天文学家托勒密（约公元 100-170 年）撰写了 13 卷《天文学大成》 ，被认为是西方第一部系统讨论三角学理论的著作。他也被称为三角学的创始人。
在三角学的一生中，它首先投入了天文学的怀抱，后来又从天文学中分离出来，被称为数学的一个分支，直到今天最后归入几何学之下。自中世纪以来，三角学研究的重点逐渐从测量转向三角形和三角函数的研究。
德国数学家、天文学家雷蒂库斯首先用直角三角形边长之比定义了我们现在熟悉的正弦、余弦等六种三角函数。这个方法也是我们初中学习三角函数定义的方法。
并且他还专门聘请了一批数学家编制了6种间隔为10'的三角函数表。对数有对数表，三角函数有三角函数表。事实上，除了雷蒂库斯之外，托勒密、韦达也做过类似的事情。欧洲人似乎对清单很着迷。
18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉出版了《无限分析导论》。在这项划时代的工作中，欧拉首次使用单位圆内的线段与半径之比来定义三角函数。
这个定义也是高中课本上三角函数的定义。也是我们理解三角函数最直接的形式。三角函数与指数函数、对数函数、幂函数、反三角函数并称为五种基本初等函数。
02
重新定义角度
我们可能比认识三角形更早认识角度，但也许我们对角度的了解可能并不全面。什么是角？由具有公共顶点的两条射线组成的图形称为角，每个角都有一个度数。我们还知道一周是360°，那么什么是361°呢？毕竟他们的口号就是爱得越多，放下得越多。在哪里？因此，不同的定义会限制我们的理解。
射线绕端点旋转形成的形状称为角，旋转的量称为角。并且还规定逆时针为正方向，也就是说逆时针旋转一周为360°，两周为720°。相反，顺时针旋转 90° 会得到 -90° 的角度，因此给出任何度数，我们都有相应的角，尽管有些角看起来相同。
随着角度的重新定义，三角函数焕发了新的活力。对于任何角度，都会有一个对应的角度，也会有它的三角函数值。欧拉，通过单位圆的定义，让函数图像生动地展现在我们眼前：
同时观察正弦和余弦：
静态图像：
切线有点奇怪：
静力学中的正切函数：
但事实上，这个图像有一个小问题。自变量是度数，因变量是实数。也就是说，横轴是度数，对应的纵轴是实数。当然可以从角度集合映射到实数集合，但是如果能够将自变量转换成实数岂不是很好吗？
03
弧度
于是就出现了一个关于角度的新系统：弧度系统。
有两种测量角度大小的系统。一种就是我们通常所说的角度系统。例如，如果角度为 90° 或 60°，则其单位为度、分和秒。
另一种称为弧度系统。在单位圆中，用角度所对的弧的长度来表示角度的大小。例如，单位圆内90°角对应的弧长为π/2，即我们用π/2（rad）表示直角。这里的rad是弧度的单位，通常可以省略。同样，可以直接用π表示直角，2π表示圆周角等。
从角度制到弧度制的转换，实际上就是建立角度与所有实数的一一对应关系，从而达到用实数表示角度的目的。当应用于三角函数时，水平轴和垂直轴都可以是实数！
说到这里，我们可以得出一个结论：tan(π/4)=1，这已经很接近问题了！
04
反函数
当集合A和集合B之间存在一一对应关系，反之，集合B和集合A之间也存在一一对应关系时，这就是所谓的反函数。
简单来说，函数就是两个变量之间的对应关系。当 y=f(x) 存在时，我们说 y 是 x 的函数。在适当的条件下（一对一映射），通过交换因变量和自变量，以y为自变量，对应的x为因变量，可得x=g(y)，即y =f(x ) 是反函数。
最典型的例子是对数函数和指数函数。欧拉根据指数函数 y=a^x 定义了对数函数
，变换后的函数将y视为自变量，对应的x为因变量。可能这样说还不够清楚，所以为什么不直接上传图片：
这两个函数的图像关于直线 y=x 对称。原因是交换了自变量和因变量的恒等式，即将原函数(x,y)的对应关系改为(y,x)的对应关系。因此，函数图像关于直线y=x对称，我们看一些例子：
那么是时候讨论三角函数的反函数了。以正弦为例，对于函数y=sinx，若y为自变量，x为因变量，则通常写为x=y，即反三角函数。
看一下图片：
哎呀，为什么画风不一样呢？其实已经体现在y=x²和y=x^(1/2)上。我们想要的是一对一的映射，一个x对应一个y，不同的x对应不同的y。 ，所以对于正弦函数，我们只能取四分之一的周期来制作反函数。
三角函数的乐趣还远不止于此，比如三角函数变换、三角函数泰勒展开等等，还有更多的奥秘等待我们去探索。
感谢您的阅读。
更多概念解析请点击轻松学习菜单中的“轻松学习高等数学”。 |
|
发表于 2024-12-3 09:23:55
