数学建模竞赛预测类方法知识点总结：灰色预测模型及实际操作指南

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我们都知道，数学建模竞赛一般都会涉及到预测模型。今天，舒乐俊华为同学们总结了预测方法的知识点。我们希望他们能在接下来的全国比赛中运用所学。

下面总结了数学建模中常用的几种预测方法：

1、灰色预测模型：

1.1 GM(1,1)预测模型的实际操作

1) 数据检验和处理，判断数据列的级别比例是否落入容量覆盖范围内，从而判断已知数据列是否可以用于灰色预测；

2）根据预测算法建立模型，得到预测值；

3）测试预测值——残差测试、水平比偏差值测试；

4）给出预测和结论。

通过对原始数据进行整理找出数值模式，将其分为三类：

一个。累加生成：通过累加系列间各时刻的数据，得到新的数据和系列。累加前的数列为原始数列，累加后的数列为生成数列。

b.累加和减法生成：前后两个数据的差值，累加和生成的逆运算。减法生成将累积生成恢复为非生成序列。

c.映射生成：累加和累加以外的生成方法。

2.时间序列预测模型：

2.1 常用方法

1）移动平均预测方法——算术平均、加权平均等（当各期增量大致相同时）

2）指数平滑预测法——距离预测周期越近的数据赋予越大的权重，权重根据距离的远近呈指数下降。

3、趋势外推预测方法：

趋势外推预测法是一种常用的预测方法，它寻求根据事物的历史和现实数据，随着时间的推移事物发展和变化的模式，从而推断其未来状况。

趋势外推法的假设是：

（1）假设事物的发展过程没有突变，即事物的发展变化是渐进的。

（2）假设所研究系统的结构和功能基本不变，即假设基于过去数据建立的趋势外推模型能够适用于未来，能够代表未来的趋势变化。

从以上两个假设可以看出，趋势外推预测方法是一种对事物逐渐发展过程的统计预测方法。简而言之，就是用数学模型来拟合一条趋势线，然后用这个模型进行推断，来预测未来事物的发展。

趋势外推预测方法主要采用描绘散点图（图形识别）的方法和差分法计算进行模型选择。

主要优点是可以揭示事物的未来发展并定量评估其功能特性。

趋势外推预测法更适合中长期新产品预测，需要至少5年的数据。

4.回归预测方法

回归预测方法根据自变量和因变量之间的相关性进行预测。自变量的数量可以是一个或多个。根据自变量的数量，可分为单回归预测和多元回归预测。同时，根据自变量与因变量之间的相关性，又分为线性回归预测法和非线性回归预测法。学习回归问题相当于函数拟合：选择一条能够很好地拟合已知数据并很好地预测未知数据的函数曲线。

5.卡尔曼滤波器预测模型

卡尔曼滤波以最小均方误差作为估计的最佳准则，寻求一组递归估计模型。它的基本思想是利用信号和噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新状态变量的估计，求出此时的估计值发生的时间。

它适合实时处理和计算机操作。卡尔曼滤波器问题由预测步骤、估计步骤和前向步骤组成。在预测步骤中，时间 t 时的状态估计取决于时间 t-1 之前的所有信息。在估计步骤中，状态更新后，将估计值与时间 t 时的实际观测值进行比较。更新后的状态是早期预测和新观察结果的综合。每个分量的权重由“卡尔曼增益”（卡尔曼增益）决定，该权重取决于噪声 w 和 v。（噪声越小，新观察结果就越可信和加权，反之亦然）。前进意味着之前的“新”观测变成“旧”观测，为下一轮的预测和估计做准备。可以随时进行任何长度的预测（通过预测状态转换）。

自适应卡尔曼滤波器的主要优点是它只需要少量的数据就可以得到预测的起点（尽管数据多一点会让结果更好一点），而且它是自调整的，自动设置参数从连续的观察来看。缺点是考虑复杂度的能力有限，有时收敛慢或不收敛（有正式标致判断是否收敛）。

6. 组合预测模型

组合预测法是对同一问题采用多种预测方法。组合的主要目的是综合利用各种方法提供的信息，尽可能提高预测精度。组合预测有两种基本形式。一种是等权组合，即将每种预测方法的预测值以相同的权重组合起来，形成新的预测值；另一种是不等权组合，即对不同预测方法的预测值赋予不同的权重。数字。这两种形式的原理和应用方法完全相同，只是权重的选择不同。根据经验，采用不等权重组合的组合预测方法具有更准确的结果。

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